Олімпіада 2019 - 2020

21 жовтня 2019 року відбувся  1 етап Всеукраїнської олімпіади з математики .
Умови завдань та відповіді:

   5 клас.  

1. Уважно вивчи приклади:

                        123456789 · 9=1 111 111 101

                        123456789 · 18=2 222 222 202

Обчисли: 123456789 · 36=

2. Знайти суму коренів рівняння:

256 – (m – 29) = 108;     49 + (х – 39) = 105.

 3. З корзини взяли 6 яблук. Після цього у корзині  залишилося            половина від початкової кількості яблук. Скільки яблук було у корзині?

4.  У сім’ї четверо дітей, їм 5, 8, 13 і 15 років, а звати їх Віра, Надія, Любов та Костянтин. Визначте, скільки років кожному з них, якщо одна дівчинка ходить у дитячий садок, Віра старша за Костянтина, а сума років Віри і Надії ділиться на 3.

5. Петрик купив 4 книги. Усі книги без першої коштують 72грн., без другої – 80грн., без третьої – 60грн., без четвертої – 58грн. Скільки коштує кожна книга?

Відповіді :  1.    4 444 444 404

                      2.     m + х = 272

                      3.     12 яблук

                     4.       Надії – 5 років,   Костянтину – 8 років, Вірі – 13 років,  Любові – 15 років.

                     5.    1 кн. – 18 грн.   2 кн. -10 грн.    3 кн. – 30 грн.  4 кн. – 32 грн.

   6 клас. 

      При якому значенні а рівняння  4 (а - 3 ) х = 72 матиме корінь х=6?

2.      Учень задумав число. Якщо це число збільшити втроє    і до знайденого добутку додати 0,17, то вийде 2,42. Знайти задумане число.

3.      Доведіть, що число 10 × 10 × 10 × … × 10 + 2015 ділиться націло на 9.

4.  Знайдіть останню цифру числа 97531*, якщо воно  ділиться на 6, але не ділиться на 9.

5.       Кожен з трьох завзятих друзів або завжди бреше, або завжди каже правду. Кореспондент відомої газети задав кожному з них таке запитання: “Чи є хоча б один брехун серед двох Ваших друзів?”. Перший дав відповідь: “Так”.Другий:

“Ні”. Що сказав третій?

Розв’язання.

1.      а = 6

2.      0,75

3.      Сума цифр даного числа ділиться на 9.

4.  * =8.    

5.      Легко зрозуміти, що перший та другий не можуть бути одночасно брехунами або правдолюбами, бо тоді вони повинні були дати однакові відповіді. Розглянемо випадок 1. Перший – брехун. Тоді другий правдолюбець Але правдолюбець повинен був відповісти : “Так”. Отже, випадок неможливий. Тому розглянемо випадок, коли перший є правдолюбцем, а другий брехуном. З відповіді другого робимо висновок, що третій брехун, тому третій відповідає,як і другий “Н

                                   7 клас.  

1. Стародавня задача. Селянин купив на ярмарку коня, корову та  вівцю. За коня він віддав 5/8 усіх грошей, за корову -  половину того, що дав за коня, за вівцю останні  5 гривень. Скільки коштує кінь і корова?

2.      Один із суміжних кутів у три рази більший від їх різниці. Знайдіть більший із цих кутів.

3.      Різниця двох чисел дорівнює 8 ,а їх сума 42. Знайти ці числа.

4.      Доведіть, що число 10 × 10 × 10 × … × 10 + 2015  ділиться націло на 9.

5.      Улянка у 27 років мала трьох синів різного віку; вік кожної дитини —     натуральне число. Минуло 10 років, і її вік дорівнює сумарному віку її трьох синів. Скільки років нині синам Улянки?

Розв'язання :

1. Кінь – 50 грн.   Корова – 25 грн.
2. 108
3. 25  і 17.
4. Сума цифр числа   - 9.
5. 11, 12 та 14.

Розв’язання. Нехай, коли Улянці було 27, її синам було x, y та z років. Тоді, виходячи з умови задачі, можемо записати таку рівність: 37 = (х + 10) + (у + 10) + (z + 10),   або  х + у + z = 7

Тепер треба знайти попарно різні натуральні числа x, y, z, сума яких дорівнює 7. Шляхом перебору легко переконатись, що єдині такі три числа — це 1, 2 і 4, тому нині синам 11, 12 і 14 років.

.  

  8 клас.   

1.     Висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, утворюють кут 30^о і дорівнюють 3см і 5см. Обчисліть периметр паралелограма.

2.     Свіжі ягоди чорниці містять 90% води, а сушені – 12%. Визначте, скільки вийде сушених ягід із 44 кг свіжих.

3.     Стародавня задача. Селянин купив на ярмарку коня, корову та  вівцю. За коня він віддав 5/8  усіх грошей, за корову -  половину того, що дав за коня, за вівцю останні  5 гривень. Скільки коштує кінь і корова?

4.     Знайти усі натуральні значення п, при яких є цілим числом значення виразу  (п^2+2п-8)/п.

5.     Розв'яжіть рівняння  4(а²х -1) = 9( а+х) відносно змінної х і вкажіть, при яких значеннях а рівняння має корені.

Розв’язання:

1.     32 см.

2.     5 кг.

3.     Кінь – 50 грн. корова – 25 грн.

4.     n=  1, 2, 4, 8.

5.    а ≠±3/2.

                                               9 клас.  

1.     Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке завдання за 12год. За скільки годин може виконати це завдання кожний робітник самостійно, якщо першому на це потрібно на 10 годин більше, ніж другому?

2.     Відомо,що х₁ і х₂ – корені рівняння  х² –( 2а – 3)х +а² -4=0. Знайдіть значення а, при яких виконується рівність

            3х₁ +3х₂ =х₁ х₂.

3.     Дано прямокутний трикутник з катетами 5 см і 12 см. Знайти відстань від вершини меншого гострого кута цього трикутника до точки перетину бісектрис трикутника.

4.     Довести , що при будь-якому значенні х і у

5у² + 2х² – 4ху -2х – 4у +6 > 0.

5.     Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 9 см, 13 см. Знайти медіану трикутника, проведену до найбільшої сторони.

Розв’язання :

1.      20 год,  30 год.

2.      а = 1, або а = 5.

3.      104 см.

4.      5у² + 2х² – 4ху -2х – 4у +6 = (4у² – 4ху + х²) + ( х² – 2х +1) +( у² – 4у +4) =

 (2у – х)² + (х – 1)² + (у – 2)² +1 >  0.

5.      5,5 см.

10 клас.   

1.     У трикутнику з кутом 120° сторони утворюють арифметичну прогресію з різницею 1 . Знайти периметр трикутника.

2.     Довести , що при будь-якому значенні х і у

5у² + 2х² – 4ху -2х – 4у +6 > 0.

3.     Доведіть, що для будь-яких додатніх чисел а та в виконується нерівність

(а²+в)(1/а+1/в^2 ) ) ≥4√(а/в)

4.     Побудувати графік функції

                                                    У=(х^3  -х )/(1-х)

 

5.     Розв'яжіть нерівність : (x^2-6х+9)/(x^2-8х+15) ≤0

Розв’язання :

1.     Сторони трикутника :3см, 4см, 5см. Периметр 12 см.

2.    5у² + 2х– 4ху -2х – 4у +6 = (4у² – 4ху + х²) + ( х² – 2х +1) +( у² – 4у +4) = (2у – х)² + (х – 1)² + (у – 2)² +1>  0.

3.     а²+в ≥  2√(а^2 в),   1/а +1/в^2 ≥2√(1/а)   ,   перемножимо ліві і праві частини нерівностей, отримаємо  (а2+в)(1/а +1/в^2 ) ≥4√(а/в).

4.     ОДЗ функції  х≠1. Після скорочення дробу маємо

 у= -х² – х. графіком функції є парабола з вершиною у точці 

(-1/2; 1/4), , вітки якої напрямлені вниз. На графіку відсутня точка з координатами (1; - 2)

5.     х ∈  (3; 5) 

11 клас

1.      Перпендикуляри, проведены з точки М простору до сторін в 29см, 25 см, та 6 см деякого трикутника рівні. Відстань від точки М до площини цього трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть відстань від точки М до вершини більшого кута заданого трикутника.

2.      Знайти найменше значення виразу

 2m^2  - 2mn + 〖 n〗^2 - 2m + 2

3.      У трикутнику з кутом 120  сторони утворюють арифметичну прогресію з різницею 1 см. Знайти периметр трикутника.

4.      Для яких цілих m нерівність    x^2    - (8m – 2)x + 15  - 2m – 7 > 0 виконуєт ься при всіх значеннях х?

5.      Розв'язати рівняння : 

 11  √(x^2-8х+7)+ 5〖(х^2- 7х+6)〗^4 = 0

Розв'язання:         

1.      Найбільший кут трикутника буде С. О – центр вписаного в трикутник кола. LM, N – точки дотику вписаного кола до сторін АВ, ВС, АС відповідно. Знайдемо відрізок ОС. За властивістю дотичних, проведених з однієїточки, покладемо AL = AN = x, BL = BM = y,  CM = CN = z. Отримаємо систему:

 (х+у=29;  у+z=25;  z+х=6)

 . Розв'язуючи  цю систему, отримаємо х = 5, у = 24, z = 1. Знайдемо радіус вписаного кола трикутника. р = 30 см. S = √(30 ∙1∙5∙24) = 60.

Тоді r = S: р = 2. Отже ОС = √5. МС = √5  МС = √(105.)

2.      Найменше значення виразу 1, якщо m = n = 1.

3.      Периметр трикутника   7,5 см.

4.      m =3

5.      х = 1.